時系列データの相関

図5.2に示すように、 自己相関関数 auto correlation R_s(τ)は， 時間が τ だけ離れた２つの信号間の相関の強さを示す量であり、偶関数である。

$$R_s(\tau) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^T s(t)s(t+\tau)dt$$ (5.8)

図 5.2: 自己相関関数

図 5.3: ノイズのパワースペクトラムと自己相関関数

正規化された自己相関関数は $R_{11}(\tau) = R_s(\tau)/R_s(0)$で表わされる。 また，

$$\tau_{cor} = \int_0^\infty R_{11}(t)dt$$ (5.9)

を相関時間といいある瞬間の信号の性質が持続する時間に対応する。 周期性のある信号であるとこの相関関数も信号と同じ周期を持つ。

白色雑音の自己相関関数は$\tau=0$の時に1で、 それ以外では0となる完全無相関な信号である。

また，パワースペクトラム $P_s$ は信号のフーリエ係数の２乗絶対値であり，

$$S_t(\omega) = \int_{-\infty}^\infty s_T(t)e^{-j\omega t}dt$$ (5.10)

$$P_s(\omega) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\vert S_t(\omega)\vert^2$$ (5.11)

となる。$S_t$はフーリエ係数である。

このパワースペクトラムと自己相関関数は お互いにフーリエ変換(直交変換)の関係にあり

$$S_t(\omega) = \int_{-\infty}^\infty R_s(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$$ (5.12)

$$R_s(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_\infty^\infty S_t(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega$$ (5.13)

と表わせ， どちらからでも他方を計算することのできる Wiener-Khintchine 関係 にあるという。