適合化移動平均法

信号の性質としてある程度の持続時間を持つとすれば、 ある対象とする瞬間のデータから時間が離れれば離れるほど、 影響の少ないデータとなると考えられる。 この影響は、 理想フィルター関数として sin 積分関数 $Si(x)=\int \sin x/x dx$ で表せる重みを与えるが 実用的には計算しにくいので、 表を用いたり、有限な多次方程式でこの重みを近似して計算する。

関数の平滑化によく用いられる重み係数は Savitzky-Golay が表で与えている。 これを適合平滑化という。 2-3 次での補間の係数は次数mでは、

$${w_{23}}_j = \frac{3}{(4m^2-1)(2m+3)} \left\{3m(m+1)-1-5j^2\right\}$$ (5.34)

$$\Delta {w_{23}}_j = \frac{3}{(2m+1)(m+1)m}\ j, \qquad j=-m,-m+1,\cdots,-1,0,1,\cdots,m$$ (5.35)

となる。 ここで、w₂₃ は平滑化用の重み係数であり、 Δw₂₃ は平滑微分用の係数である。

この式は、

$$y_i = \frac{1}{W}\sum_{j = -m}^{m}{w_{23}}_jx_{i+j}\hspace{2em}% W=\sum_{j = -m}^{m} {w_{23}}_j$$ (5.36)

と表す。

表 5.1: ２次・３次多項式適合による平滑化重み係数$w_j$ と平滑化正規係数W、微分平滑化正規係数$W_d$

$m\backslash j$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	W	$W_d$
14	629	624	609	584	549	504	449	384	309	224	129	24	-91	-216	-351	8091	2030
13	545	540	525	500	465	420	365	300	225	140	45	-60	-175	-300		6525	1638
12	467	462	447	422	387	342	287	222	147	62	-33	-138	-253			5175	1300
11	395	390	375	350	315	270	215	150	75	-10	-105	-210				4025	1012
10	329	324	309	284	249	204	149	84	9	-76	-171					3059	770
9	269	264	249	224	189	144	89	24	-51	-136						2261	570
8	215	210	195	170	135	90	35	-30	-105							1615	408
7	167	162	147	122	87	42	-13	-78								1105	280
6	125	120	105	80	45	0	-55									715	182
5	89	84	69	44	9	-36										429	110
4	59	54	39	14	-21											231	60
3	35	30	15	-10												105	28
2	17	12	-3													35	10
1	2	1														4	2

表5.1に係数${w_{23}}_j$と係数Wを示す。 式(5.35)に示す係数を用いて、

$$y_i = \sum_{j = -m}^{m}w_{23}(j)x_{i+j}$$ (5.37)

$$y'_i = \left(\frac{dx}{dt}\right)_i = \sum_{j = -m}^{m}\Delta w_{23}(j)x_{i+j}$$ (5.38)

を計算すれば、採取したデータ$x(i)$を平滑化した$y(i)$と微分した$y'(i)$を 求めることができる。

この式を見て解るようにこの移動平均は畳み込み積分の一種である。こ の重み $w_j$を重み関数(係数)と言う。 この重み関数の種類が移動平均法の種類となる。