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適合化移動平均法

信号の性質としてある程度の持続時間を持つとすれば、 ある対象とする瞬間のデータから時間が離れれば離れるほど、 影響の少ないデータとなると考えられる。 この影響は、 理想フィルター関数として sin 積分関数 $Si(x)=\int \sin x/x dx$ で表せる重みを与えるが 実用的には計算しにくいので、 表を用いたり、有限な多次方程式でこの重みを近似して計算する。

関数の平滑化によく用いられる重み係数は Savitzky-Golay が表で与えている。 これを適合平滑化という。 2-3 次での補間の係数は次数$m$では、

$\displaystyle {w_{23}}_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{3}{(4m^2-1)(2m+3)}
\left\{3m(m+1)-1-5j^2\right\}$ (5.34)
$\displaystyle \Delta {w_{23}}_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{3}{(2m+1)(m+1)m} j,
\qquad j=-m,-m+1,\cdots,-1,0,1,\cdots,m$ (5.35)

となる。 ここで、$w_{23}$は平滑化用の重み係数であり、 $\Delta w_{23}$は平滑微分用の係数である。

この式は、

\begin{displaymath}
y_i = \frac{1}{W}\sum_{j = -m}^{m}{w_{23}}_jx_{i+j}\hspace{2em}%
W=\sum_{j = -m}^{m} {w_{23}}_j
\end{displaymath} (5.36)

と表す。


表 5.1: 2次・3次多項式適合による平滑化重み係数$w_j$ と平滑化正規係数$W$、微分平滑化正規係数$W_d$
$m\backslash j$ 0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14 $W$ $W_d$
14 629   624   609   584   549   504   449   384   309   224   129   24   -91   -216   -351 8091 2030
13 545   540   525   500   465   420   365   300   225   140   45   -60   -175   -300   6525 1638
12 467   462   447   422   387   342   287   222   147   62   -33   -138   -253     5175 1300
11 395   390   375   350   315   270   215   150   75   -10  -105   -210       4025 1012
10 329   324   309   284   249   204   149   84   9   -76  -171         3059 770
9 269   264   249   224   189   144   89   24   -51   -136           2261 570
8 215   210   195   170   135   90   35   -30  -105             1615 408
7 167   162   147   122   87   42   -13   -78               1105 280
6 125   120   105   80   45   0   -55                 715 182
5 89   84   69   44   9   -36                   429 110
4 59   54   39   14   -21                     231 60
3 35   30   15   -10                       105 28
2 17   12   -3                         35 10
1 2   1                           4 2

5.1に係数${w_{23}}_j$と係数$W$を示す。 式(5.35)に示す係数を用いて、

$\displaystyle y_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{j = -m}^{m}w_{23}(j)x_{i+j}$ (5.37)
$\displaystyle y'_i = \left(\frac{dx}{dt}\right)_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{j = -m}^{m}\Delta w_{23}(j)x_{i+j}$ (5.38)

を計算すれば、採取したデータ$x(i)$を平滑化した$y(i)$と微分した$y'(i)$を 求めることができる。

この式を見て解るようにこの移動平均は畳み込み積分の一種である。こ の重み $w_j$を重み関数(係数)と言う。 この重み関数の種類が移動平均法の種類となる。


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Ken Kishimoto 2014-06-02